6月21日(木)
．
まず¥R^2 の領域で解析的な関数f(x,t)を考え，その初期値問題を考える．初期値はx(0) = x_0 と置くが，平行移動可能なので，x(0)=0 として問題ない．（解析関数の係数c_{k0}=a_0 は特に何をおいてもいいのだ）
局所解が一意に存在することは去年の微積続論で確認した．
今回の興味としては，この微分方程式の解が解析的か？ということ．答えは肯定で，解析的.
lem3.1 でf(t,x)を展開しやすい初等関数で書き下す．
初期値問題（Initial Value Problem）をIVPと書いて，IVPの形式的整級数解を構成していく．整級数（冪級数）をどんどん微分していき，係数を求めていく．すると係数a_k はfの(k-1)階までの偏導関数とa_m (m < k)の多項式の積の有限和となることが帰納法からわかる．これがlemma3.2
lemma 3.2 形式的整級数解の係数a_k は，(k-1)階までの (t,x)=(0,0) での偏導関数とa_m (m < k)の多項式の積の有限和で書ける．
級数が構成できたら収束半径が評価したくなる．オーソドックスに優級数を作って評価する
lemma 3.3 r_f r_F があるとき，fの優級数Fの方が収束半径が小さい．
3.4までの結果から，IVPの解が解析的であることがわかる．
theorem3.1 IVPの解は解析的．
2確定特異点とFrobenius method
Leonhard Euler がといた手法がフロベニウス解（Frobenius method）の基礎になっているようだ．（まだ確認していないが．）
定義3.2.1 確定特異点とは二階線形微分方程式の，x¥prime ,x の係数の分母がゼロになるt．
例3.2.2 Eulerの方程式
このEulerの方程式の解法の計算がなかなか興味深い．味わい深い．
この一般解を出して，その次に確定特異点型微分方程式の解が解析的になることを示していく．
今週ここまで．
3Evansのゼミ，今日はSobolev-B-A 不等式の証明した．先輩が発表．
まだまだSobolevのありがたみを感じられていない．まだ不等式の海を泳いでいるだけだ．
4Runge-Kutta法の問題点とPeanoの方法を学んだ．
テストまでに
・Newton法と
・前進，後退，
・Durand-Kerner法，
・4次Runge-Kutta法を暗記して理解して置く．
4発生生物学は原腸陥入を神経の発生と絡めて理解して置く．
5数理生物学を読んで置く
6微分形式の理解がまだ進んでいない．要復習．
7ストークスの定理の証明をおって置く
